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Análisis Matemático 66

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 UBA XXI
CÁTEDRA CABANA

Práctica 6 - Integrales

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6.5. Calcular:
b) ∫ln⁡(sin⁡(θ))cot⁡(θ)dθ\int \ln (\sin(\theta)) \cot(\theta) d \theta

Respuesta

La integral que queremos resolver es esta: ∫ln⁡(sin⁡(θ))cot⁡(θ)dθ \int \ln(\sin(\theta)) \cot(\theta) d\theta Primero, acordate como escribimos la cotangente (cot⁡(θ)\cot(\theta)) cot⁡(θ)=cos⁡(θ)sin⁡(θ) \cot(\theta) = \frac{\cos(\theta)}{\sin(\theta)} Sustituimos cot⁡(θ)\cot(\theta) en la integral: ∫ln⁡(sin⁡(θ))cos⁡(θ)sin⁡(θ)dθ \int \ln(\sin(\theta)) \frac{\cos(\theta)}{\sin(\theta)} d\theta

Ahora tomamos la sustitución

u=sin⁡(θ)u = \sin(\theta)

du=cos⁡(θ) dθdu = \cos(\theta) \, d\theta

La integral en términos de uu nos queda:

∫ln⁡(sin⁡(θ))cos⁡(θ)sin⁡(θ)dθ= ∫ln⁡(u)1udu= ∫ln⁡(u)udu \int \ln(\sin(\theta)) \frac{\cos(\theta)}{\sin(\theta)} d\theta = \int \ln(u) \frac{1}{u} du = \int \frac{\ln(u)}{u} du 

Esta integral ya la resolvimos en el Ejercicio 3.d y sale por sustitución. Así que si, tenemos que volver a aplicar otra sustitución más, tomamos:

t=ln⁡(u)t = \ln(u)

dt=1t dudt = \frac{1}{t} \, du

Escribimos la integral en términos de tt

∫ln⁡(u)udu=∫t dt=t22+C\int \frac{\ln(u)}{u} du = \int t \, dt = \frac{t^2}{2} + C 

Entonces ya tenemos el resultado... escrito en la variable tt, ahora tenemos que volver para atrás, primero lo escribimos en términos de uu y después de θ\theta

t22+C= ln⁡2(u)2+C=  ln⁡2(sin⁡(θ))2+C\frac{t^2}{2} + C = \frac{\ln^2(u)}{2} + C =  \frac{\ln^2(\sin(\theta))}{2} + C

Por lo tanto, el resultado de la integral es

∫ln⁡(sin⁡(θ))cot⁡(θ)dθ= ln⁡2(sin⁡(θ))2+C \int \ln(\sin(\theta)) \cot(\theta) d\theta = \frac{\ln^2(\sin(\theta))}{2} + C
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